当前位置:主页 > 现代头脑 >对数的诞生(Birth of Logarithms) > 正文

对数的诞生(Birth of Logarithms)

发布:2020-07-04 热度:603℃



对数单元的教学安排,一直是老师教学上的一大挑战。在拥有便利的辅助工具之后,学生很难能耐着性子处理那些庞杂的数字计算(尤其是那种为考试而设计的问题)。事实上,对数发展时的那种数字处理的需求,已经从每个人的经验中消失,教学上也难以再现。

现行「对数」的定义是十八世纪数学家欧拉(Léonhard Euler, 1707-1783)所给的:「给定一个正数当作底数,则一个数的对数,就是这个底数的次方与这个数相等时的指数/指标(index)。以现在的数学符号表示,就是 $$a^x=b\Longleftrightarrow{x}=\log_ab$$。

对学生而言,这种透过指数的定义方式,其实非常抽象化与形式化,无法带给学生任何的启蒙。换言之,我们难以仅仅透过定义了解对数是如何计算,以及最初它是如何被发展。当然,也就难以说服学生为何要学会这些早就被辅助的计算工具所取代的计算技巧。本文是对数发展的初期,纳皮尔(John Napier,1550-1617)工作的一些简单速写,希望能对此一主题的学习上提供可能的想法。

据数学史家的研究,纳皮尔的对数形成受到三种概念的影响:(1)将乘法看成加法;(2)算术(等差)级数与几何(等比)级数的比较;(3)运动学的几何性质。让我们一起往下看,便知分晓。

说来也许令人惊讶,在对数尚未发明之前,天文学家们对于庞大数字计算,是藉助三角学中的四个积化和差的公式来帮助,统称为加减规则(prosthaphaeretic rule)。

我们试以 $$544.6\times{12.19}$$ 为例,来说明其公式之使用:

$$\begin{array}{ll}544.6\times12.19&={10}^5\times0.5446\times0.1219\\&\approx{10}^5\cos57^{\circ}\sin7^{\circ}\\&=10^5\times\frac{1}{2}\times[\sin (57^\circ+7^\circ)-\sin(57^\circ-7^\circ)]\\&\approx{10}^5\times\frac{1}{2}\times(0.8988-0.7660)=6640\end{array}$$

纳皮尔是苏格兰贵族,业余的数学家。1590年左右,他听闻天文学家利用上述方法简化计算,加上他注意到等比数列中的两数相乘(除)与等差数列两数相加(减)相对应的现象,可以在这两个数列之间建立起对应关係。

因而,他开始思索如何将乘除化为加减:如果能将任何数写成 $$a$$ 的某个次方,那幺,两数相乘便能轻易进行。但如何选择适当的 $$a$$ 值,让 $$a^n$$ 间隔够小,可以和足够多的整数相对应,成了纳皮尔最大的课题。

经过一番尝试后,他最后选定 $$a=1-\frac{1}{{10}^7}$$ 一个非常靠近 $$1$$ 的数,并且考虑等比数列 $$\{10^7(1-\frac{1}{10^7})^n\}$$(只取整数部份)。因此,任何小于$$10^7$$(这受到三角函数表的影响)的整数都会等于某个 $$10^7(1-\frac{1}{10}^7)^n$$。

因此,当 $$x=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^n$$,就称 $$n$$ 是 $$x$$ 的Napier对数值。

若我们取 $$x_1=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^{n_1}$$,$$x_2=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^{n_2}$$,
则 $$(x_1x_2)/10^7=10^7(1-\frac{1}{10}^7)^{n_1+n_2}$$,若 $${x}$$ 是 $${n_1+n_2}$$ 所对应的值,那幺 $$x_1x_2=10^7x$$。

花了二十年的时间,1614年纳皮尔发表他的对数表着作,他在书中利用运动的观点来解释对数。

如图一,我们考虑 $$P$$、$$Q$$ 两点在直线上的运动,$$P$$ 点在直线上等速前进,

所以,通过 $$[0,a]$$,$$[a,2a]$$,$$[2a,3a]…$$ 等区间的时间间隔都会相等。

而 $$Q$$ 点则在 $$P$$ 点运动的时间间隔中,通过$$[1,r]$$,$$[r,r^2]$$,$$[r^2,r^3]…$$ 等区间。

在这样的模式中,$$P$$ 点的运动相当于等差数列,$$Q$$ 点的运动则相当于等比数列。

对数的诞生(Birth of Logarithms)

纳皮尔的着作受到广泛的注意,特别是伦敦Gresham学院的数学家布里格斯(Henry Briggs,1561-1631)。布里格斯亲自拜访纳皮尔,在两人的会面中,他们更是釐清了对数的本质。因此,两人决定着手制定改以 $$10$$ 为底数的对数表,以便于十进位制的计算使用。不过,由于纳皮尔年事已高,这个工作就由布哩格斯于1619年将之完成,这便是Briggs常用对数表的由来。

参考文献:


相关推荐